函数的“不可积”问题

这里的“不可积”指的是原函数不能表示成初等函数的形式
基本是搬运，但是忘记出处了

常见的“不可积”的例子

三角积分类

$\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{x^n}\text{d}x,;\int\dfrac{\cos x}{x^n}\text{d}x,;\int\dfrac{\tan x}{x^n},;\int x^n\tan x\text{d}x$

$\displaystyle\int\left(\dfrac{x}{\sin x}\right)^n\text{d}x,;\int\left(\dfrac{x}{\cos x}\right)^n\text{d}x,;\int\left(\dfrac{x}{\tan x}\right)^n\text{d}x$

菲涅尔积分类型

$\displaystyle\int\sin x^2\text{d}x,;\int\cos x^2\text{d}x,;\int\tan x^2\text{d}x$

贝塞尔积分

$\displaystyle\int\cos(x\sin x)\text{d}x$

Laplace 积分

$\displaystyle\int\dfrac{\cos\beta x}{1+x^2}\text{d}x$

高斯积分类

$\displaystyle\int e^{ax^2+bx+c}\text{d}x$

$\displaystyle\int x^ne^{ax^2+bx+c}\text{d}x$

指数积分类型

$\displaystyle\int\dfrac{e^{ax}}{x}\text{d}x,;\int\dfrac{e^{ax}}{a+x^n}\text{d}x,;\int\dfrac{x^n}{1\pm e^x}\text{d}x$

对数积分类型

$\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{\ln x},;\int\dfrac{\ln x\text{d}x}{1+x^2},;\int\ln\sin x\text{d}x,;\int\ln\cos x\text{d}x,;\int\ln\tan x\text{d}x$

$\displaystyle\int\ln(a+b\sin x)\text{d}x,;\int\ln(a+b\cos x)\text{d}x,\int\ln(a+b\tan x)\text{d}x$

$\displaystyle\int\ln\ln\sin x\text{d}x,;\int\ln\ln\cos x\text{d}x,;\int\ln\ln\tan x\text{d}x$

椭圆积分类

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\text{d}x,;\int\sqrt{1-k^2\sin^2x}\text{d}x$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1\pm x^n}}\text{d}x,;\int\sqrt{1\pm x^n}\text{d}x;(n\geqslant3)$

常见的特殊函数

Beta 函数

$\displaystyle\text{B}(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\text{d}x=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)},;(p,q>0)$

Gamma 函数

$\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\text{d}x,;(s>0)$

误差函数

$\displaystyle\text{erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-x^2}\text{d}x$

互补误差函数

$\displaystyle \text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{+\infty}e^{-x^2}\text{d}x$

zeta 函数

$\displaystyle\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^s}$

狄拉克雷 eta 函数

$\displaystyle\eta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\dfrac{1}{k^s}=(1-2^{1-s})\zeta(s)$

多重对数函数 Polylog

$\displaystyle\text{Li}n(x)=\sum{k=1}^{\infty}\dfrac{x^k}{k^n}$

果然考试周就是不务正业

还有超几何分布函数，惠特克函数，贝塞尔函数，椭圆函数

更多的特殊函数可以参考 特殊函数概论(王竹溪)