太久没更了，都快忘了怎么用了，最近要高强度学习，把这个捡起来继续用

偏微分方程概念

关于未知函数 $u(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的偏微分方程 是一个含有 $u$ 的偏微商的恒等式，其中最高阶微商的阶数叫做该偏微分方程的阶. 例如，二阶偏微分方程的一般形式是

$$F(x,u,Du,u_{x_1x_1},u_{x_1x_2},\cdots,u_{x_nx_n})=0$$

其中，$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n),;Du=(u_{x_1},u_{x_2},\cdots,u_{x_n})$，$F$ 是关于自变量 $x$ 和未知函数 $u$ 及 $u$ 的有限多个偏微商的已知函数。

Laplace 算子

$$\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots+\dfrac{\partial^2}{\partial x_n^2}$$

称为 Laplace 算子，也称 调和算子，偏微分方程中最重要的算子之一.

例子

1

关于函数 $u=u(x_1,x_2,\cdots,x_n,t)$ 的 $n$ 维波动方程是

$$u_{tt}=a^2\Delta u$$

其中，$a>0$ 是常数，为一个二阶常系数线性方程.

2

当一个导热体的密度和比热都是常数时，其温度分布 $u(x,t)$ 满足，热传导方程

$$u_{t}=k\Delta u$$

其中，$k>0$ 是常数.

3

关于函数 $u(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的 $n$ 维 Laplace 方程，也称调和方程是

$$\Delta u=u_{x_1x_2}+u_{x_2x_2}+\cdots+u_{x_nx_n}=0.$$

它的解称为调和函数(重要). 当方程非齐次时，叫做 Poisson(泊松)方程. 通常称为位势方程.

二阶线性方程的一般形式

$$Lu\equiv\sum_{i,j=1}^na^{ij}(x)u_{x_ix_j}+\sum_{i=1}^nb^i(x)u_{x_i}+c(x)u=f(x)$$

其中 $a^{ij}=a^{ji}$，$i,j=1,2,\cdots,n$，且至少有一个 $a^{ij}$ 不恒为零.

说到这个，应该讲讲 偏微分方程线性 的概念

线性与非线性

如果偏微分方程或方程组关于未知函数及其所有偏微商是线性的，则称它为现行的，否则称为非线性的.

  • 拟线性
  • 全非线性
  • 半线性

参考:《偏微分方程》 陈祖墀