Euler积分
Beta 函数
形如
$\displaystyle \text{B}(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\text{d}x$
的含参变量积分称为 Beta 函数，或 第一类 Euler 积分。
Beta 函数 $\text{B}(p,q)$ 的定义域为 $(0,+\infty)\times(0,+\infty)$
性质
1 连续性
$\text{B}(p,q)$ 在 $(0,+\infty)\times(0,+\infty)$ 上连续.
2 对称性
$\text{B}(p,q)=\text{B}(q,p),;p>0,;q>0$
3 递推公式
$\text{B}(p,q)=\dfrac{q-1}{p+q-1}\text{B}(p,q-1),;p>0,;q>1$
可由对称性与递推公式得到，
当 $p>1,;q>1$ 时，有
$\text{B}(p,q)=\dfrac{(p-1)(q-1)}{(p+q-1)(p+q-2)}\text{B}(p-1,q-1)$
其他表示
1
作变量代换 $x=\cos^2\varphi$，得到
$\text{B}(p,q)=2\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos^{2p-1}\varphi\sin^{2q-1}\varphi;\text{d}\varphi$
易知
$\text{B}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)=\pi$
2
作变量代换 $x=\dfrac{1}{1+t}$，得到
$\begin{aligned}
\text{B}(p,q)=&\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t\
=&\int_0^{1}\dfrac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t+\int_1^{+\infty}\dfrac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t
\end{aligned}$
对后一个积分作变量代换 $t=\dfrac{1}{u}$，得到
$\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t=\int_0^1\dfrac{u^{p-1}}{(1+u)^{p+q}}\text{d}u$
于是
$\displaystyle\text{B}(p,q)=\int_0^1\dfrac{t^{q-1}+t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}\text{d}t$
Gamma 函数
形如
$\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\text{d}x$
的含参变量积分称为 Gamma 函数 或 第二类 Euler 积分.
$\Gamma(s)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$
性质
1 连续性与可导性
$\Gamma(s)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续且任意阶可导.
$\displaystyle\Gamma^{(n)}(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}(\ln x)^n\text{d}x,\quad s>0$
2 递推公式
$\Gamma(s)$ 满足
$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s),\quad s>0.$
特别地，当 $s=n$ 为整数时，易知
$\displaystyle\Gamma(1)=\int_0^{+\infty}e^{-x}\text{d}x=1$
$\Rightarrow\Gamma(n+1)=n!$
$\displaystyle\Gamma(s)=\dfrac{\Gamma(s+1)}{s}$
$\displaystyle\lim_{s\to0}\Gamma(s)=+\infty$
3 其他表示
1
作变量替换 $x=t^2$，得到
$\displaystyle\Gamma(s)=2\int_0^{+\infty}t^{2x-1}e^{-t^2}\text{d}t$
容易得到
$\displaystyle\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\text{d}t=\sqrt{\pi}$
2
作变量代换 $x=\alpha t(\alpha>0)$，得到
$\displaystyle\Gamma(s)=\alpha^s\int_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-\alpha t}\text{d}t$
4 定义域的延拓
由于等式
$\Gamma(s)=\dfrac{\Gamma(s+1)}{s}$
的右边在 $(-1,0)$ 上有定义，则可以用上式等一左边函数 $\Gamma(s)$ 函数在 $(-1,0)$ 上的值。同样的根据在 $(-1,0)$ 上定义的值，定义 $\Gamma(s)$ 在 $(-2,-1)$ 上的值，不断如此，则可以把 $\Gamma(s)$ 的定义域延拓到
$(-\infty,+\infty)\setminus{0,-1,-2,-3,\cdots}$
上。
定理一
$\displaystyle\text{B}(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)},\quad p>0,\quad q>0.$
证明：
由于
$\displaystyle\Gamma(p)=2\int_0^{+\infty}t^{2p-1}e^{-t^2}\text{d}t$
$\displaystyle\Gamma(q)=2\int_0^{+\infty}t^{2q-1}e^{-t^2}\text{d}t$
取 $\Omega={(s,t)|0\leqslant s<+\infty,;0\leqslant t<+\infty}$，利用化反常重积分为累次积分的方法得到
$\begin{aligned}
\Gamma(p)\Gamma(q)
=&4\int_0^{+\infty}s^{2p-1}e^{-s^2}\text{d}s\int_0^{+\infty}t^{2q-1}e^{-t^2}\text{d}t\
=&4\underset{\Omega}{\iint}s^{2p-1}e^{-s^2}t^{2q-1}e^{-t^2}\text{d}s\text{d}t
\end{aligned}$
作极坐标变换 $s=r\cos\theta,;t=r\sin\theta$，即得
$\begin{aligned}
\Gamma(p)\Gamma(q)=&4\underset{\overset{0\leqslant r<+\infty}{0\leqslant\theta\leqslant\frac\pi2}}{\iint}r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta\text{d}t\text{d}\theta\
=&\left(2\int_0^{\frac\pi2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta\text{d}\theta\right)\left(2\int_0^{+\infty}r^{2(p+q)-1}e^{r^2}\text{d}r\right)\
=&\text{B}(p,q)\Gamma(p+q)
\end{aligned}$
Legendre 公式
$\Gamma(s)\Gamma\left(s+\dfrac12\right)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{2s-1}}\Gamma(2s)，\quad s>0.$
余元公式
$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\dfrac{\pi}{\sin\pi s},\quad0<s<1$
Stirling 公式
Gamma 函数有如下的渐进估计：
$\Gamma(s+1)=\sqrt{2\pi s}\left(\dfrac{s}{e}\right)^se^{\frac{\theta}{12s}},\quad s>0,\quad0<\theta<1$
特别地，当 $s=n$ 为正整数时，
$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^ne^{\frac{\theta}{12n}}$